C*-algebras generated by two partitions of unity and derived quantum graphs

Abstract

This thesis investigates two different topics in the field of operator algebras and non-commutative geometry. In the first part, we study bipartite graph C*-algebras, a class of C*-algebras generated by two partitions of unity with orthogonality relations prescribed by a bipartite graph. Our main result gives a classification of bipartite graph C*-algebras in terms of their space of one- and two-dimensional irreducible representations. The C*-algebras associated to the hypercubes of arbitrary dimension are studied in more detail. For these we obtain an explicit description in terms of continuous matrix-valued functions on a standard simplex. The second part of this thesis contributes to the theory of quantum graphs, a novel generalization of classical graphs. Given a free action of a finite group on a finite classical graph $\Gamma$, a construction of Gross and Tucker describes $\Gamma$ as the so-called derived graph of a voltage graph. The latter is a finite graph together with a labeling of the edges by elements of a finite group. We generalize the derived graph construction to quantum graphs and finite abelian groups, and we characterize precisely which quantum graphs can be written as derived quantum graphs. Via a choice of a group action in the construction of the derived quantum graph, a fixed voltage quantum graph can give rise to different non-isomorphic derived quantum graphs which are in this case quantum isomorphic to each other.

Diese Dissertation beschäftigt sich mit zwei verschiedenen Themen aus dem Gebiet der Operatoralgebren und nicht-kommutativen Geometrie. Im ersten Teil untersuchen wir bipartite-Graph-C*-Algebren, eine Klasse von C*-Algebren, die von zwei Partitionen der Eins erzeugt werden, wobei ein bipartiter Graph bestimmte Orthogonalitätsbedingungen zwischen den Partitionen vorgibt. Unser Hauptresultat klassifiziert bipartite-Graph-C*- Algebren durch ihren Raum der ein- und zwei-dimensionalen irreduziblen Darstellungen. Weiter untersuchen wir die C*-Algebren der Hyperwürfel genauer und erhalten eine explizite Beschreibung durch stetige matrixwertige Funktionen auf einem Standardsimplex. Der zweite Teil dieser Arbeit trägt zur Theorie der Quantengraphen bei. Eine klassische Konstruktion von Gross und Tucker beschreibt einen beliebigen Graphen Γ als abgeleiteten Graph eines sogenannten Spannungsgraphen, falls eine freie Wirkung einer endlichen Gruppe auf Γ gegeben ist. Ein Spannungsgraph ist dabei ein klassischer Graph zusammen mit einer Beschriftung der Kanten durch Elemente einer endlichen Gruppe. Wir verallgemeinern diese Konstruktion auf Quantengraphen und endliche abelsche Gruppen und charakterisieren genau, welche Quantengraphen als abgeleitete Quantengraphen dargestellt werden können. Durch die Wahl verschiedener Gruppenwirkungen in der Konstruktion des abgeleiteten Quantengraphen kann ein fester Quanten- Spannungsgraph verschiedene nicht-isomorphe abgeleitete Quantengraphen erzeugen, die in diesem Fall paarweise quantenisomorph sind.